著名的数学公式总结

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可以通过把斯特灵公式整理,并注意到它的幂级数与双曲正弦函数的泰勒级数展开式的相似性来得出。当z的实数部分大于8时,这个近似值精确到小数点后8位。2002年,Robert H. Windschitl建议计算器用这个公式来计算伽玛函数。

Gerg? Nemes在2007年提出了一个近似公式,它的精确度与Windschitl的公式相等,但更加简单:

一阶逻辑的公式是Skolem 范式的,如果它的前束范式只有全称量词。一个公式可以被Skolem 化,就是说消除它的存在量词并生成最初的公式的等价可满足的公式。Skolem 化是如下(二阶的)等价的应用

首先当我们根据一阶逻辑构成法则构建一个公式,为了测试证明是否该公式存在一个模型(或解释),也就是说他是否是可满足的

所谓可满足式的公式是指该公式至少拥有一个模型(或称解释),使该公式为真(也就是说使该公式在一定的解释下有意义)

为了能够测试证明所有公式的满足性问题,我们就使用一种通过让公式变形达到公式统一标准为目的的方法,来证明公式的满足性问题 因此我们引入(Clause)句子的概念,也就是说把公式θ变形成Clause(θ)的形式来判断公式θ的可满足性问题

为何要把公式统一化?其目的是为了更好地使判断可满足性的算法应用于任何公式中,因此公式变形成统一的表达标准

我们有一个定理: 如果θ是可满足的当且仅当Clause(θ)是可满足性的 由于该定理的存在,确保公式的可满足性在Clause(θ)中是等价的,所以我们应用算法,来使公式变形 在公式θ转变成Clause(θ)过程中,由于根据公式构成规则,公式θ中可能有存在量词?,所以我们使用Skolemisation方法,其目的是消减公式θ中所有的存在量词? 根据(Clause)句子的定义,句子中的每个变量必须是以所有量词?限定的约束变量

定标准式,如果公式ψ是由公式θ通过Skolemisation方法所得到公式,那么

根据如上定理我们确保在使用Skolemisation方法后,公式θ和公式ψ的可满足性是等价的

线性代数中,柯西–比内公式(Cauchy–Binet formula)将行列式的可乘性(两个方

有 m 个元素的子集,我们记AS 为 A 中列指标位于 S 中的 m×m 子矩阵。类似地,记 BS 为 B 中行指标位于 S 中的 m× m 子矩阵。柯西–比内公式说

这里求遍 { 1, …, n } 中 m 个元素的所有可能子集 S(共有 C(n,m) 个)。 如果 m = n,即 A 与 B 是同样大小的方块矩阵,则只有一个容许集合 S,柯西–比内公式退化为通常行列式的可乘性。如过 m = 1 则有 n 容许集合 S,这个公式退化为点积。如果 m>

n,没有容许集合 S,行列式 det(AB) 是零(参见空和(empty sum))。 这个公式对矩阵元素取值于任何交换环都成立。证明可将 AB 的列写成系数来自 B 的 A 的列的线性组合,利用行列式的可乘性,将属于一个 det(AS) 的项收集起来,并利用行列式的反对称性。利用行列式的莱布尼兹公式,得出 det(AS) 的系数是 det(BS)。这个证明没有利用行列式的可乘性,相反这个证明建立了它。 如果 A 是一个实 m×n 矩阵,则 det(A AT) 等于由 A 中行向量在 Rn 中张成的平行多面体 m-维体积的平方。柯西–比内公式说这等于该平行多面体在所有 m-维坐标平面(共有 C(n,m) 个)的正交投影的平行多面体的 m-维体积的平方之总和。m=1 的情形是关于一条线段的长度,这恰是毕达哥拉斯定理。 柯西–比内公式可直接推广到两个矩阵乘积的子式的一个一般公式。该公式在子式一文给出。 例 如果 与 则柯西-比内公式给出行列式:

在数学中,柯西积分公式是复分析的一个核心理论。以著名数学家柯西命名。 它主要表述了任何一个在闭圆盘上复可微的方程在圆盘内的值完全取决于它在盘边界上的值。并且圆盘内每一点的所有的导数也可通过柯西积分公式计算。而在实分析中这样的结果是完全不可能达到的。 定理 假设 U 是复平面C的一个开子集,f : U → C 是一个在闭圆盘D上复可微的方程, 并且闭圆盘 D = { z : z ? z0 ≤ r} 是U的子集。 设C 为D 的边界。则可以推得每个在D 内部的点a:

柯西-阿达马公式(Cauchy-Hadamard Formula)为复分析(Complex analysis)中求单复变形式幂级数收敛半径的公式,以法国数学家奥古斯丁·路易·柯西和雅克·阿达马的名字命名。 公式陈述 对于单一复数变量―z‖的形式幂级数

在物理学与数学中, 格林定理连结了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为?C?且平面区域为?D?的双重积分。 格林定理是斯托克斯定理的二维特例,以英国数学家乔治·格林(George Green)命名。 设闭区域D由分段光滑的曲线?L?围成,函数?P(x,y)及?Q(x,y)在?D?上具有一阶连续偏导数,则有

其中L是D的取正向的边界曲线。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。 此公式叫做格林公式,它给出了沿着闭曲线C的曲线积分与C所包围的区域D上的二重积分之间的关系。阿达玛-特拉奥雷另见格林第一公式、格林第二公式。

以下是特殊情况下定理的一个证明,其中D是一种I型的区域,C2和C4是竖直的直线。对于II型的区域D,其中C1和C3是水平的直线。 如果我们可以证明

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